Що таке “математика”?

Сучасний термін “математика” походить від слова maqhmata, яким греки в V столітті до н.е. позначали різні галузі знання, а починаючи з IV ст. до н.е. стали називати чотири наукові дисципліни: геометрію, арифметику, астрономію і гармоніку.

Вперше термін maqhmatikoz засвідчений в одному з пізніх діалогів Платона (427-347 до н.е.), і належить, швидше за все, йому самому. Коли ж Архіт Тарентський (бл. 428-бл. 365 до н.е.) писав про своїх піфагорських попередників, він вживав інший вираз: “ті, хто мають відношення до maqhmata…”

Відома також інтерпретація слова maqhma, в якій воно означає просто науку. Латинська назва математики – Mathesis.

Погляд на математику як на науку про величини і просторові фігури був загальноприйнятим протягом багатьох сотень (якщо не тисяч) років. Оскільки кожна величина за допомогою відповідним чином обраної одиниці вимірювання може бути виражена числом , то сутність математики нерідко бачили в дослідженні властивостей і залежностей між числами. Вивчення просторових фігур тривалий час також обмежувалося їх метричними властивостями.

Такий погляд на математику був характерний для XVII, XVIII століть, і частково для першої половини XIX століття. У цей час головним об’єктом вивчення в математиці служили змінні величини, а точніше, різноманітні функціональні зв’язки між величинами.

Тому більшість математиків не тільки XVIII, але і XIX століття визначали свою науку насамперед як науку про вимірювання величин і фігур. У статті Д’Аламбера (1717-1783) у французькій Енциклопедії математика визначалася саме як наука про непрямий вимір величин. Аналогічної точки зору дотримувалися найбільший математик XVIII століття Л. Ейлер (1707-1783) та великий математик іншої епохи К. Ф. Гаусс (1777-1855).

Відмінність математики XVIII століття від математики XIX століття полягає у наступному. Математика вважалася, по суті, методом, а в своїх окремих частинах (наприклад, в галузі диференціальних рівнянь) швидше сукупністю розрізнених методів вирішення завдань, поставлених природознавством. Математика мала калькулятивний, обчислювальний і формульний (тобто алгоритмічний) характер. Цей характер математики вважався самими математиками XVIII століття як раз тією властивістю, яка відрізняє її від інших наук.

Там, де доводилося зустрічатися з недостатністю традиційних обчислювальних алгоритмів, де потрібно було застосовувати більш загальні способи міркувань, там навіть не бажали бачити математичної проблеми.

Яскравим прикладом такого стану справ може служити історія рішення Л. Ейлера знаменитої задачі про кенігсберзькі мости. Ейлер вважав, що його (власне) рішення має мале відношення до математики, “… бо це рішення підкріплюється одним тільки міркуванням, і немає необхідності залучати для знаходження цього рішення будь-яких законів, які властиві математиці” (Л. Ейлер. Листи до учених. М.-Л., 1963. – 153 ст. ). Необхідно відзначити, що сучасні фахівці з теорії графів одностайно вважають цю вирішену Ейлером задачу вихідним пунктом своєї науки. Однак минуло більше ста років, перш ніж теорія графів одержала подальший розвиток (уже в XX столітті).

Тривалий час у СРСР було панівним визначення математики, дане Ф. Енгельсом (1820-1895) в роботі “Діалектика природи” (1894 р.). Воно таке: математика – це наука, яка вивчає просторові форми і кількісні відношення дійсного світу (при цьому акцент робився на “дійсний світ”). Нічого специфічного “марксистського” ​​в цьому визначенні, зрозуміло, немає, це “звичайна” точка зору емпіризму, яку багато хто поділяв і задовго до Енгельса. Однак у той час, коли Енгельс писав “Діалектику природи” (друга половина XIX століття), математика фактично вже “переросла” це визначення, і, таким чином, теоретичні уявлення про сутність математики вже тоді помітно відставали від рівня її реального розвитку. Зокрема, саме філософське уявлення про математику як науку про кількісні відношення і просторові форми реального світу стали головною причиною того, що математики XIX століття довго не могли прийняти неевклідову геометрію як повноцінну математичну теорію.

На відміну від багатьох інших наук, предмет яких з часом практично не змінюється (наприклад, комплекс біологічних наук вивчав і вивчає різні види живих організмів і все, що пов’язано з різними аспектами проявів життя, і це формулювання фактично не залежить від поточного стану досліджень в біології), розуміння того, чим є математика, суттєво змінювався з часом, і, що принципово важливо, завжди залежав від того, чим саме математика займалася в даний момент. Надалі можна спостерігати ту ж саму тенденцію: вся математика визначається через один або декілька найбільш актуальних на даний момент об’єктів, які вивчаються. Наприклад, після появи статті Н. Бурбакі “Архітектура математики” на деякий час стала популярною точка зору, згідно з якою математика вивчає якісь “абстрактні структури”. Прикладами таких структур є структури групи, частково впорядкованої множини і топологічного простору, а в цілому, мабуть, малося на увазі приблизно те ​​ж саме, що описано в книзі Н. Бурбакі “Теорія множин”.

Математика, згідно Е. М. Вечтомову вивчає універсальні абстракції, укорінені в бутті за допомогою категорій форми та кількості. Об’єктом математики як науки служать найрізноманітніші прояви форми та кількості, що розглядаються в найбільш загальному і чистому вигляді. Предметом математики є математичні структури та математичні моделі тієї чи іншої реальності. Загальний метод математики – сувора дедукція. Загально дедуктивний метод виник саме в рамках математики.

Отже, математика є наука про форми та кількості і загальні схеми їх втілення. Сучасна математика включає логіку як науку про форми правильного мислення.

По суті, по тому ж шляху йшов і В. А. Канке, який у своїй книзі “Філософія математики, фізики, хімії та біології”, дає визначення математики, згідно з яким математика фактично зводиться до теорії (алгебраїчних) категорій.